线性代数学习笔记(九)——矩阵运算(一)

线性代数学习笔记(九)——矩阵运算(一)

本篇笔记记录了矩阵的加法和减法、矩阵的数乘和矩阵的乘法运算。需要注意矩阵的加法和减法必须要同型矩阵才行运算;矩阵的数乘是将某数乘以矩阵中的所有元素,与行列式不同,矩阵所有元素均有公因子

k

k

k,该公因子只向外提

1

1

1次,而非行列式的提

n

n

n次;矩阵的乘法规则与行列式类似,但有左乘和右乘之分,需要注意矩阵的左右顺序;如果两个矩阵左乘和右乘的结果相等,那么称这两个矩阵是可交换的,并进一步讨论了矩阵可交换的条件。

1 矩阵的加法和减法

1.1 矩阵的加法

对应元素相加。 例如:

[

1

1

1

1

1

1

]

+

[

0

2

3

1

1

1

]

=

[

1

3

4

0

2

2

]

\begin{bmatrix} 1&1&1\\ 1&1&1\\ \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 0&2&3\\ -1&1&1\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&3&4\\ 0&2&2\\ \end{bmatrix}

[11​11​11​]+[0−1​21​31​]=[10​32​42​]

显然,只有同型矩阵才能相加。

1.2 矩阵的减法

对应元素相减。 例如:

[

1

2

3

3

3

3

4

4

4

]

[

1

0

1

0

0

1

0

0

0

]

=

[

0

2

2

3

3

2

4

4

4

]

\begin{bmatrix} 1&2&3\\ 3&3&3\\ 4&4&4\\ \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 1&0&1\\ 0&0&1\\ 0&0&0\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0&2&2\\ 3&3&2\\ 4&4&4\\ \end{bmatrix}

​134​234​334​

​−

​100​000​110​

​=

​034​234​224​

同理,也只有同型矩阵才能做减法。

1.3 五条运算律

A

+

B

=

B

+

A

A+B=B+A

A+B=B+A ②

(

A

+

B

)

+

C

=

A

+

(

B

+

C

)

(A+B)+C=A+(B+C)

(A+B)+C=A+(B+C) ③

A

+

O

=

A

A+O=A

A+O=A ④

A

+

(

A

)

=

O

A+(-A)=O

A+(−A)=O ⑤

A

+

B

=

C

A

=

C

B

A+B=C \iff A=C-B

A+B=C⟺A=C−B

上述矩阵

A

B

C

O

A、B、C和O

A、B、C和O在运算时必须为同型矩阵。

2 矩阵的数乘

2.1 数乘的定义

用一个数乘以矩阵等于这个数乘以矩阵的所有元素。 例如:

k

[

1

2

3

4

5

6

7

8

9

]

=

[

1

k

2

k

3

k

4

k

5

k

6

k

7

k

8

k

9

k

]

k\begin{bmatrix} 1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1k&2k&3k\\ 4k&5k&6k\\ 7k&8k&9k\\ \end{bmatrix}

k

​147​258​369​

​=

​1k4k7k​2k5k8k​3k6k9k​

矩阵所有元素均有公因子

k

k

k,这个公因子向外提1次(与行列式不同,行列式一行或列有公因子提一次,所有元素均有公因子提

n

n

n次)。

2.2 三条运算法则

k

(

A

+

B

)

=

k

A

+

k

B

k(A+B)=kA+kB

k(A+B)=kA+kB ②

(

k

+

l

)

A

=

k

A

+

l

A

(k+l)A=kA+lA

(k+l)A=kA+lA ③

k

l

(

A

)

=

(

k

l

)

A

kl(A)=(kl)A

kl(A)=(kl)A

k

l

k、l

k、l为两个数,

A

B

A、B

A、B为同型矩阵。

例2: 已知

A

=

[

1

2

3

3

3

3

]

A=\begin{bmatrix}1&2&3\\3&3&3\end{bmatrix}

A=[13​23​33​],

B

=

[

0

2

6

2

0

4

]

B=\begin{bmatrix}0&2&6\\2&0&4\end{bmatrix}

B=[02​20​64​],求

3

A

1

2

B

3A-\frac12B

3A−21​B的值。

解:

3

A

1

2

B

3A-\frac12B

3A−21​B

=

3

[

1

2

3

3

3

3

]

1

2

[

0

2

6

2

0

4

]

=3\begin{bmatrix}1&2&3\\3&3&3\end{bmatrix}-\frac12\begin{bmatrix}0&2&6\\2&0&4\end{bmatrix}

=3[13​23​33​]−21​[02​20​64​]

=

[

3

6

9

9

9

9

]

[

0

1

3

1

0

2

]

=\begin{bmatrix}3&6&9\\9&9&9\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}0&1&3\\1&0&2\end{bmatrix}

=[39​69​99​]−[01​10​32​]

=

[

3

5

6

8

9

7

]

=\begin{bmatrix}3&5&6\\8&9&7\end{bmatrix}

=[38​59​67​]

3 矩阵的乘法

3.1 矩阵相乘规则

矩阵的乘法与行列式的乘法类似。 例如:

[

2

1

0

1

0

1

]

[

1

0

1

0

1

1

0

1

1

]

\begin{bmatrix}2&1&0\\1&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&1\\0&1&1\end{bmatrix}

[21​10​01​]

​100​011​111​

① 用第一个矩阵的第1行乘以第二个矩阵的第1列,即对应元素相乘再相加,放在结果矩阵的第1行第1列;

[

2

1

0

1

0

1

]

[

1

0

1

0

1

1

0

1

1

]

=

[

2

×

1

+

1

×

0

+

0

×

0

]

\begin{bmatrix}\color{red}{2}&\color{red}{1}&\color{red}{0}\\1&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\color{red}{1}&0&1\\\color{red}{0}&1&1\\\color{red}{0}&1&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\color{red}{2×1+1×0+0×0}&{\cdots}\\{\vdots}&{\ddots}\end{bmatrix}

[21​10​01​]

​100​011​111​

​=[2×1+1×0+0×0⋮​⋯⋱​]

② 用第一个矩阵的第1行乘以第二个矩阵的第2列,即对应元素相乘再相加,放在结果矩阵的第1行第2列;

[

2

1

0

1

0

1

]

[

1

0

1

0

1

1

0

1

1

]

=

[

2

2

×

0

+

1

×

1

+

0

×

1

]

\begin{bmatrix}\color{red}{2}&\color{red}{1}&\color{red}{0}\\1&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&\color{red}{0}&1\\0&\color{red}{1}&1\\0&\color{red}{1}&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2&\color{red}{2×0+1×1+0×1}&{\cdots}\\{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}\end{bmatrix}

[21​10​01​]

​100​011​111​

​=[2⋮​2×0+1×1+0×1⋮​⋯⋱​]

③ 用第一个矩阵的第1行乘以第二个矩阵的第3列,即对应元素相乘再相加,放在结果矩阵的第1行第3列;

[

2

1

0

1

0

1

]

[

1

0

1

0

1

1

0

1

1

]

=

[

2

1

2

×

1

+

1

×

1

+

0

×

1

]

\begin{bmatrix}\color{red}{2}&\color{red}{1}&\color{red}{0}\\1&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0&\color{red}{1}\\0&1&\color{red}{1}\\0&1&\color{red}{1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2&1&\color{red}{2×1+1×1+0×1}\\{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}\end{bmatrix}

[21​10​01​]

​100​011​111​

​=[2⋮​1⋮​2×1+1×1+0×1⋱​]

④ 同理,依次用第一个矩阵的第1行乘以第二个矩阵的第1列、第2列和第3列,分别入在结果矩阵的第1列、第2列和第3列。

[

2

1

0

1

0

1

]

[

1

0

1

0

1

1

0

1

1

]

=

[

2

1

3

1

1

2

]

\begin{bmatrix}2&1&0\\\color{red}{1}&\color{red}{0}&\color{red}{1}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&1\\0&1&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2&1&3\\1&1&2\end{bmatrix}

[21​10​01​]

​100​011​111​

​=[21​11​32​]

3.2 矩阵相乘的前提

[

2

1

0

1

0

1

]

[

1

0

1

0

1

1

0

1

1

1

1

3

]

\begin{bmatrix}2&1&0\\1&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&1\\0&1&1\\1&1&3\end{bmatrix}

[21​10​01​]

​1001​0111​1113​

上述第一个矩阵第一行有3个元素,第二个矩阵第一列有4个元素,元素之间没有办法相互对应,所以两个矩阵不能相乘。

矩阵相乘前提:第一个矩阵的列数

=

=

= 第二个矩阵的行数。 结果矩阵形状:结果矩阵的行数

=

=

= 第一个矩阵的行数,结果矩阵的列数

=

=

= 第二个矩阵的列数。

矩阵

A

5

×

3

A_{5×3}

A5×3​和矩阵

B

4

×

2

B_{4×2}

B4×2​不能相乘,因为矩阵

A

A

A的列数

3

3

3不等于矩阵

B

B

B的行数

4

4

4。

宋氏七字口诀:

中间相等,取两头

\color{red}{中间相等,取两头}

中间相等,取两头。

例如:

A

3

×

4

B

4

×

5

=

C

3

×

5

A_{3×4}B_{4×5}=C_{3×5}

A3×4​B4×5​=C3×5​

举例:

A

5

×

3

B

4

×

3

A_{5×3}B_{4×3}

A5×3​B4×3​不能相乘;

A

5

×

4

E

4

×

4

A_{5×4}E_{4×4}

A5×4​E4×4​可以相乘,结果为

B

5

×

4

B_{5×4}

B5×4​;

F

s

×

t

E

t

×

h

F_{s×t}E_{t×h}

Fs×t​Et×h​可以相乘,结果为

D

s

×

h

D_{s×h}

Ds×h​;

例3:

[

1

1

5

4

3

2

]

2

×

3

[

1

1

0

2

3

6

]

3

×

2

\begin{bmatrix}-1&1&5\\4&3&-2\end{bmatrix}_{2×3}\begin{bmatrix}1&-1\\0&2\\-3&6\end{bmatrix}_{3×2}

[−14​13​5−2​]2×3​

​10−3​−126​

​3×2​

=

[

1

×

1

+

1

×

0

+

5

×

(

3

)

1

×

(

1

)

+

1

×

2

+

5

×

6

4

×

1

+

3

×

0

+

(

2

)

×

(

3

)

4

×

(

1

)

+

3

×

2

+

(

2

)

×

6

]

2

×

2

=\begin{bmatrix}-1×1+1×0+5×(-3)&-1×(-1)+1×2+5×6\\4×1+3×0+(-2)×(-3)&4×(-1)+3×2+(-2)×6\end{bmatrix}_{2×2}

=[−1×1+1×0+5×(−3)4×1+3×0+(−2)×(−3)​−1×(−1)+1×2+5×64×(−1)+3×2+(−2)×6​]2×2​

=

[

16

33

10

10

]

2

×

2

=\begin{bmatrix}-16&33\\10&-10\end{bmatrix}_{2×2}

=[−1610​33−10​]2×2​

如果交换上述两个矩阵的位置:

[

1

1

0

2

3

6

]

3

×

2

[

1

1

5

4

3

2

]

2

×

3

\begin{bmatrix}1&-1\\0&2\\-3&6\end{bmatrix}_{3×2}\begin{bmatrix}-1&1&5\\4&3&-2\end{bmatrix}_{2×3}

​10−3​−126​

​3×2​[−14​13​5−2​]2×3​

=

[

1

×

(

1

)

+

(

1

)

×

4

1

×

1

+

(

1

)

×

3

1

×

5

+

(

1

)

×

(

2

)

0

×

(

1

)

+

2

×

4

0

×

1

+

2

×

3

0

×

5

+

2

×

(

2

)

3

×

(

1

)

+

6

×

4

3

×

1

+

6

×

3

3

×

5

+

6

×

(

2

)

]

3

×

3

=\begin{bmatrix}1×(-1)+(-1)×4&1×1+(-1)×3&1×5+(-1)×(-2)\\0×(-1)+2×4&0×1+2×3&0×5+2×(-2)\\-3×(-1)+6×4&-3×1+6×3&-3×5+6×(-2)\end{bmatrix}_{3×3}

=

​1×(−1)+(−1)×40×(−1)+2×4−3×(−1)+6×4​1×1+(−1)×30×1+2×3−3×1+6×3​1×5+(−1)×(−2)0×5+2×(−2)−3×5+6×(−2)​

​3×3​

=

[

5

2

7

8

6

4

27

15

27

]

3

×

3

=\begin{bmatrix}-5&-2&7\\8&6&-4\\27&15&-27\end{bmatrix}_{3×3}

=

​−5827​−2615​7−4−27​

​3×3​

如果

A

=

[

1

1

5

4

3

2

]

A=\begin{bmatrix}-1&1&5\\4&3&-2\end{bmatrix}

A=[−14​13​5−2​],

B

=

[

1

1

0

2

3

6

]

B=\begin{bmatrix}1&-1\\0&2\\-3&6\end{bmatrix}

B=

​10−3​−126​

​ 则

A

B

=

[

16

33

10

10

]

AB=\begin{bmatrix}-16&33\\10&-10\end{bmatrix}

AB=[−1610​33−10​],

B

A

=

[

5

2

7

8

6

4

27

15

27

]

BA=\begin{bmatrix}-5&-2&7\\8&6&-4\\27&15&-27\end{bmatrix}

BA=

​−5827​−2615​7−4−27​

我们发现,

A

B

B

A

AB≠BA

AB=BA。而且比如

A

5

×

2

B

2

×

3

A_{5×2}B_{2×3}

A5×2​B2×3​可以相乘,而

B

2

×

3

A

5

×

2

B_{2×3}A_{5×2}

B2×3​A5×2​不能相乘,所以

A

B

AB

AB有意义,但

B

A

BA

BA不一定有意义。

一般情况下,

A

B

B

A

AB≠BA

AB=BA,如果

A

B

=

B

A

AB=BA

AB=BA,那么称

A

A

A、

B

B

B是可交换的。

3.3 矩阵左乘和右乘的定义

如果

A

B

AB

AB,则称

A

A

A左乘

B

B

B,

B

B

B右乘

A

A

A。

例5: 若矩阵

A

=

[

2

0

1

0

]

A=\begin{bmatrix}2&0\\-1&0\end{bmatrix}

A=[2−1​00​]、矩阵

B

=

[

0

0

1

3

]

B=\begin{bmatrix}0&0\\1&3\end{bmatrix}

B=[01​03​]、矩阵

C

=

[

0

0

2

4

]

C=\begin{bmatrix}0&0\\2&4\end{bmatrix}

C=[02​04​],求

A

B

AB

AB、

A

C

AC

AC。

解:

A

B

=

[

2

×

0

+

0

×

1

2

×

0

+

0

×

3

1

×

0

+

0

×

1

1

×

0

+

0

×

3

]

=

[

0

0

0

0

]

AB=\begin{bmatrix}2×0+0×1&2×0+0×3\\-1×0+0×1&-1×0+0×3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}

AB=[2×0+0×1−1×0+0×1​2×0+0×3−1×0+0×3​]=[00​00​]

A

C

=

[

2

×

0

+

0

×

2

2

×

0

+

0

×

4

1

×

0

+

0

×

2

1

×

0

+

0

×

4

]

=

[

0

0

0

0

]

AC=\begin{bmatrix}2×0+0×2&2×0+0×4\\-1×0+0×2&-1×0+0×4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}

AC=[2×0+0×2−1×0+0×2​2×0+0×4−1×0+0×4​]=[00​00​]

不难发现:

A

B

=

A

C

AB=AC

AB=AC。

矩阵乘法不满足的三条规律: ① 多数情况下,

A

B

B

A

AB{\neq}BA

AB=BA; ②

A

B

=

0

A

=

0

B

=

0

AB=0\quad{\nRightarrow}{\quad}A=0或B=0

AB=0⇏A=0或B=0; ③

A

B

=

A

C

A

0

B

=

C

AB=AC,A≠0\quad{\nRightarrow}{\quad}B=C

AB=AC,A=0⇏B=C。

3.4 特殊矩阵相乘

① 任何矩阵与零矩阵相乘都等于零矩阵。

A

4

×

3

O

3

×

2

=

O

4

×

2

A_{4×3}O_{3×2}=O_{4×2}

A4×3​O3×2​=O4×2​

② 任何矩阵与单位矩阵相乘都不变。

A

E

=

A

E

B

=

B

AE=A,EB=B

AE=A,EB=B

举例:

[

3

3

3

4

1

1

5

9

9

]

[

1

0

0

0

1

0

0

0

1

]

\begin{bmatrix}3&3&3\\4&1&1\\5&9&9\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}

​345​319​319​

​100​010​001​

=

[

3

×

1

+

3

×

0

+

3

×

0

3

×

0

+

3

×

1

+

3

×

0

3

×

0

+

3

×

0

+

3

×

1

4

×

1

+

1

×

0

+

1

×

0

4

×

0

+

1

×

1

+

1

×

0

4

×

0

+

1

×

0

+

1

×

1

5

×

1

+

9

×

0

+

9

×

0

5

×

0

+

9

×

1

+

9

×

0

5

×

0

+

9

×

0

+

9

×

1

]

=\begin{bmatrix}3×1+3×0+3×0&3×0+3×1+3×0&3×0+3×0+3×1\\4×1+1×0+1×0&4×0+1×1+1×0&4×0+1×0+1×1\\5×1+9×0+9×0&5×0+9×1+9×0&5×0+9×0+9×1\end{bmatrix}

=

​3×1+3×0+3×04×1+1×0+1×05×1+9×0+9×0​3×0+3×1+3×04×0+1×1+1×05×0+9×1+9×0​3×0+3×0+3×14×0+1×0+1×15×0+9×0+9×1​

=

[

3

3

3

4

1

1

5

9

9

]

=\begin{bmatrix}3&3&3\\4&1&1\\5&9&9\end{bmatrix}

=

​345​319​319​

3.5 三条矩阵乘法运算规律

① 结合律,

(

A

B

)

C

=

A

(

B

C

)

(AB)C=A(BC)

(AB)C=A(BC)

② 分配律,

(

A

+

B

)

C

=

A

C

+

B

C

C

(

A

+

B

)

=

C

A

+

C

B

(A+B)C=AC+BC,C(A+B)=CA+CB

(A+B)C=AC+BC,C(A+B)=CA+CB

k

(

A

B

)

=

(

k

A

)

B

=

A

(

k

B

)

k(AB)=(kA)B=A(kB)

k(AB)=(kA)B=A(kB)

以上三条规律,注意

A

A

A、

B

B

B的顺序,不管是结合、分配还是数乘之后,

A

A

A、

B

B

B的左右顺序没有发生变化。例如:

(

A

+

B

)

C

=

C

A

+

C

B

\xcancel{(A+B)C=CA+CB}

(A+B)C=CA+CB

​是不正确的,因为矩阵

C

C

C原来在右边,分配进去之后到了左边。

3.6 矩阵可交换的条件

例6: 求与

A

=

[

1

0

1

1

]

A=\begin{bmatrix}1&0\\1&1\end{bmatrix}

A=[11​01​]可交换的所有矩阵。

解:因为

A

A

A为2×2的矩阵,设与其可交换的矩阵为

B

B

B,则

B

B

B也必定为2×2的矩阵。 设:

B

=

[

a

b

c

d

]

B=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}

B=[ac​bd​],则

A

B

=

B

A

AB=BA

AB=BA。

即:

[

1

0

1

1

]

[

a

b

c

d

]

=

[

a

b

c

d

]

[

1

0

1

1

]

\begin{bmatrix}1&0\\1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0\\1&1\end{bmatrix}

[11​01​][ac​bd​]=[ac​bd​][11​01​]

故:

[

a

b

a

+

c

b

+

d

]

=

[

a

+

b

b

c

+

d

d

]

\begin{bmatrix}a&b\\a+c&b+d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a+b&b\\c+d&d\end{bmatrix}

[aa+c​bb+d​]=[a+bc+d​bd​]

矩阵相等则左右两边为同型矩阵,且对应元素相等,所以:

{

a

=

a

+

b

b

=

b

a

+

c

=

c

+

d

b

+

d

=

d

{

a

=

a

b

=

0

c

=

c

d

=

a

\begin{cases} a=a+b\\ b=b\\ a+c=c+d\\ b+d=d\\ \end{cases}\Rightarrow\begin{cases} a=a\\ b=0\\ c=c\\ d=a\\ \end{cases}

⎧​a=a+bb=ba+c=c+db+d=d​⇒⎩

⎧​a=ab=0c=cd=a​

得到:

B

=

[

a

0

c

a

]

B=\begin{bmatrix}a&0\\c&a\end{bmatrix}

B=[ac​0a​] 其中

a

a

a、

c

c

c为任意常数。

思考: 求与

A

=

[

1

0

1

1

1

1

]

A=\begin{bmatrix}1&0&1\\1&1&1\end{bmatrix}

A=[11​01​11​]可交换的所有矩阵。

解:因为

A

A

A为2×3的矩阵,设与其可交换的矩阵为

B

B

B,则

B

B

B也必定为3×2的矩阵。 设:

B

=

[

a

b

d

e

m

n

]

B=\begin{bmatrix}a&b\\d&e\\m&n\end{bmatrix}

B=

​adm​ben​

​,则:

A

2

×

3

B

3

×

2

=

M

2

×

2

A_{2×3}B_{3×2}=M_{2×2}

A2×3​B3×2​=M2×2​

B

3

×

2

A

2

×

3

=

N

3

×

3

B_{3×2}A_{2×3}=N_{3×3}

B3×2​A2×3​=N3×3​

由于

M

M

M为2×2的矩阵,

N

N

N为3×3的矩阵,所以

A

B

AB

AB和

B

A

BA

BA不可能相等。

所以:一个矩阵可交换,则该矩阵和其所有交换矩阵必须都是同阶方阵。 即:

A

n

B

n

=

B

n

A

n

A_nB_n=B_nA_n

An​Bn​=Bn​An​

3.7 变量间的线性替换

例7:

{

x

1

=

y

1

y

2

x

2

=

y

1

+

y

2

\begin{cases} x_1=y_1-y_2\\ x_2=y_1+y_2\\ \end{cases}{\qquad}①

{x1​=y1​−y2​x2​=y1​+y2​​①

{

y

1

=

z

1

+

z

2

+

2

z

3

y

2

=

z

1

2

z

2

+

z

3

\begin{cases} y_1=z_1+z_2+2z_3\\ y_2=z_1-2z_2+z_3\\ \end{cases}{\qquad}②

{y1​=z1​+z2​+2z3​y2​=z1​−2z2​+z3​​②

{

z

1

=

u

1

+

u

2

z

2

=

u

1

z

3

=

u

1

+

u

2

\begin{cases} z_1=u_1+u_2\\ z_2=u_1\\ z_3=-u_1+u_2\\ \end{cases}{\qquad}③

⎧​z1​=u1​+u2​z2​=u1​z3​=−u1​+u2​​③

解:分别将①式、②式和③式改写成矩阵相乘的形式,得:

[

x

1

x

2

]

=

[

1

1

1

1

]

[

y

1

y

2

]

\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&-1\\1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}y_1\\y_2\end{bmatrix}{\qquad}④

[x1​x2​​]=[11​−11​][y1​y2​​]④

[

y

1

y

2

]

=

[

1

1

2

1

2

1

]

[

z

1

z

2

z

3

]

\begin{bmatrix}y_1\\y_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&1&2\\1&-2&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}z_1\\z_2\\z_3\end{bmatrix}{\qquad}⑤

[y1​y2​​]=[11​1−2​21​]

​z1​z2​z3​​

​⑤

[

z

1

z

2

z

3

]

=

[

1

1

1

0

1

1

]

[

u

1

u

2

]

\begin{bmatrix}z_1\\z_2\\z_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&1\\1&0\\-1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_1\\u_2\end{bmatrix}{\qquad}⑥

​z1​z2​z3​​

​=

​11−1​101​

​[u1​u2​​]⑥

将⑥式代入⑤式,再代入④式得:

[

x

1

x

2

]

=

[

1

1

1

1

]

[

1

1

2

1

2

1

]

[

1

1

1

0

1

1

]

[

u

1

u

2

]

\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&-1\\1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&1&2\\1&-2&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&1\\1&0\\-1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_1\\u_2\end{bmatrix}

[x1​x2​​]=[11​−11​][11​1−2​21​]

​11−1​101​

​[u1​u2​​]

=

[

0

3

1

2

1

3

]

[

1

1

1

0

1

1

]

[

u

1

u

2

]

=\begin{bmatrix}0&3&1\\2&-1&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&1\\1&0\\-1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_1\\u_2\end{bmatrix}

=[02​3−1​13​]

​11−1​101​

​[u1​u2​​]

=

[

2

1

2

5

]

[

u

1

u

2

]

=\begin{bmatrix}2&1\\-2&5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_1\\u_2\end{bmatrix}

=[2−2​15​][u1​u2​​]

=

[

2

u

1

+

u

2

2

u

1

+

5

u

2

]

=\begin{bmatrix}2u_1+u_2\\-2u_1+5u_2\end{bmatrix}

=[2u1​+u2​−2u1​+5u2​​]

所以:

{

x

1

=

2

u

1

+

u

2

x

2

=

2

u

1

+

5

u

2

\begin{cases} x_1=2u_1+u_2\\ x_2=-2u_1+5u_2\\ \end{cases}

{x1​=2u1​+u2​x2​=−2u1​+5u2​​

4 引用

《线性代数》高清教学视频 “惊叹号”系列 宋浩老师_哔哩哔哩 (゜-゜)つロ 干杯~-bilibili_2.2 矩阵运算(一)

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